miércoles, 26 de mayo de 2010

CALCULO INTEGRAL - AREAS BAJO LA CURVA

AREAS
Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo (imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, -no como los antiguos griegos-pero de la forma mas moderna, el como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primera definición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:

AREAS BAJO CURVA
Definición: Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales viene dada por:

AREA = ∫ f(x)dx

Observemos la siguiente FIG 1:






En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas y f(x)=4
x =-3
x =2
SOLUCIÓN:
TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida.

FIG 2




2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

A =∫_(-3)^2▒4dx

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

A =∫_(-3)^2▒4dx = 4x EVALUADO 2 Y -3

A= 4(2) – 4(-3) =20
Luego el área de la región es 20 u2.

APLICACIONES A LA CARRERA
INGENIERIA AMBIENTAL
Te sirven por ejemplo si tienes el perfil de un terreno y quieres calcular volumenes de excavación. Otro ejemplo si tienes una curva con valores de consumo de agua cada hora (que se obtienen mediante caudalímetro), integras la curva y te da el volumen diario consumido.Este también nos sirve para hallar el área bajo la curva de una Planta Perfil, las plantas perfiles es pasar las curvas de nivel de dicho mapa a papel milimetrado y asi observar laforma del terreno y hallarle el area tanto por debajo como por encima de la curva.Usar la integral definida para resolver problemas prácticos de la Ingeniería: Temas
relacionados con áreas, volúmenes, longitud de curvas, trabajo mecánico y volúmenes
por secciones planas conocidas.Estudiar las derivadas de funciones trascendentes y sus integrales relacionadas.Aprender los diferentes métodos de Integración para evaluar integrales.Estudiar la convergencia o divergencia de sucesiones y series.

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